怎么解非齐次线性方程

在读大学的时候，学习微分方程的同学，都会学到齐次线性返程和非齐次线型方程。而求解非齐次线型方程是一件比较困难的事，接下来就教大家如何利用矩阵求解非齐次线型方程。

工具/材料

微分方程知识

操作方法

接下来用例题为大家讲解一下，先来看看题目，求下列非齐次线型方程组的全部解。

首先写出非齐次线型方程的增广矩阵，如下图所示。

然后屋面将增广矩阵华为阶梯型矩阵，一样的，如下图所示。

接下来我们开始取自由元，并令自由元为0，得出AX=B的特解X0。

随后分别令其中一个自由元为1，其余为0，然后就可以得到AX=0的基础解系。

最后再把通解写出来就可以啦。

怎么解非齐次线性方程组的通解

「线性代数」非齐次线性方程组，无解、唯一解、无穷解详细做法

在线性代数中，我们往往会做到一类题目，那就是给定两个矩阵A、B，其中设有未知数，问我们什么时候AX=B无解、有唯一解、有无穷多解。

我们认知中的AX=B便是非齐次线性方程组的表达式（常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组）

笔者呢在复习考研数学的时候，经常做到关于线代求AX=B解的题目，因此下定决心要好好整理一下。

话不多说，就让我们开始吧。

非齐次线性方程组的求解步骤

矩阵A是系数矩阵，矩阵b（矩阵A和矩阵B结合起来）是增广矩阵，对于判断解的情况，当然是判断系数矩阵和增广矩阵的秩。

如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩（R(A)

R(A)=R(b)=n，方程组有唯一解。

R(A)=R(b)

当然，是要将增广矩阵b进行初等行变换化为行阶梯形来判断。

但是这只是用来判断是否有解，至于怎么求，我们当然要借助解的结构：

非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组的一个特解

话不多说，给出一道实际例题，这道题目让我们求出AX=B各种解的情况：

首先是无解的情况

既然是无解，那当然只要证明R(A)

这道题目中我设置矩阵b是增广矩阵，包括(A:B)在内：

无解的情况最为简单，因为你不需要求解，只需要判断矩阵的秩即可。

注意：这里为什么没有用到初等列变换，是因为我要化为行阶梯形，不可以用初等列变换，否则，如果尝试的话，就会导致题目做错，达不到我们要的结果，因此不用初等列变换。

齐次是有唯一解的情况

唯一解的情况当然是R(A)=R(B)=n的时候，n自然是指的是n阶方程的秩。

齐次是有无穷多解的情况

无穷多解的情况便是R(A)=R(B)

注意，这里用到了基础解系的概念。

因为我们知道非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组的一个特解

所以其中的1,-1,0是非齐次线性方程组的特解，k1(0,-1,1)是齐次线性方程组的通解。

总结

总的来说，我们往往在简答题中会遇到这类求线性方程组的题目，难度不是很大，关键在于掌握方法，矩阵的秩能够用来判断线性方程组的解是无解、唯一解还是无穷多解。

掌握好求解的步骤，便能够事半功倍，很快的完成这类题目。